Determinante berechnen: Übungen mit dem Gauß-Verfahren
Für 3×3- und 4×4-Matrizen ist das Gauß-Verfahren oft der schnellste Weg: Matrix auf Dreiecksform bringen, Diagonale multiplizieren und dabei mitzählen, was die Umformungen mit der Determinante machen.
So gehst du vor
- 1
Bring die Matrix mit Zeilenumformungen auf obere Dreiecksform (Nullen unter der Diagonale).
- 2
Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren ändert die Determinante nicht.
- 3
Jeder Zeilentausch dreht das Vorzeichen um.
- 4
Multiplizierst du eine Zeile mit k, wird auch die Determinante mit k multipliziert. Das musst du am Ende wieder herausrechnen.
- 5
Die Determinante der Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.
Beispiel mit Musterlösung
Musterlösung
Ausgangsmatrix
6 1 0 −3 −1 1 3 −1 6 1. II + 1/2·I
6 1 0 0 −1/2 1 3 −1 6 2. III − 1/2·I
6 1 0 0 −1/2 1 0 −3/2 6 3. III − 3·II
6 1 0 0 −1/2 1 0 0 3
Stufenform: det = 6 · (−1/2) · 3 = −9
Jetzt selbst rechnen
Gib die Zeilenumformungen ein, z. B. II − 3·I. Wenn du festhängst, hilft „Tipp: nächster Schritt“.
Berechne die Determinante.
Zeilentausch dreht das Vorzeichen um; eine Zeile mal k multipliziert auch die Determinante mit k. Das Addieren eines Vielfachen einer anderen Zeile ändert nichts.
| 3 | 2 | 0 |
| −3 | −2 | −1 |
| −6 | −2 | −3 |
Deine Antwort
Typische Fehler
- Zeilentausch nicht mitgezählt: Dann stimmt das Vorzeichen nicht.
- Mit Kombinationen wie 2·II − 3·I gerechnet, ohne den Faktor 2 zu berücksichtigen: Die Determinante hat sich dabei verdoppelt.
- Die Regel von Sarrus auf eine 4×4-Matrix angewendet: Sie gilt nur für 3×3-Matrizen.
Häufige Fragen
Wann ist die Determinante 0?
Wenn die Zeilen (oder Spalten) linear abhängig sind, zum Beispiel wenn beim Umformen eine Nullzeile entsteht. Dann ist die Matrix nicht invertierbar und das zugehörige Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar.
Sarrus, Laplace oder Gauß?
Für 3×3 ist Sarrus schnell. Hat eine Zeile oder Spalte viele Nullen, lohnt sich die Laplace-Entwicklung. Ab 4×4 ist das Gauß-Verfahren meist am wenigsten Rechenarbeit.
Was bedeutet die Determinante geometrisch?
Ihr Betrag ist der Faktor, um den die Matrix Flächen (2×2) bzw. Volumen (3×3) streckt. Das Vorzeichen zeigt, ob die Orientierung erhalten bleibt.