Rang einer Matrix bestimmen: Übungen mit Lösung
Der Rang ist die Zahl der linear unabhängigen Zeilen. Am einfachsten bestimmst du ihn mit dem Gauß-Verfahren: Stufenform herstellen und die Zeilen zählen, die nicht nur aus Nullen bestehen.
So gehst du vor
- 1
Bring die Matrix mit Zeilenumformungen auf Stufenform.
- 2
Zeilen, die nur noch Nullen enthalten, waren Kombinationen der anderen Zeilen.
- 3
Der Rang ist die Zahl der übrigen Zeilen, also die Zahl der Stufen (Pivots).
- 4
Kontrolle: Der Rang ist höchstens so groß wie die kleinere der beiden Zahlen Zeilen und Spalten.
Beispiel mit Musterlösung
Musterlösung
Ausgangsmatrix
−1 −1 −2 2 2 5 −1 −1 −1 1. II + 2·I
−1 −1 −2 0 0 1 −1 −1 −1 2. III − I
−1 −1 −2 0 0 1 0 0 1 3. III − II
−1 −1 −2 0 0 1 0 0 0
Stufenform: 2 Zeilen sind nicht nur Nullen, also Rang = 2.
Jetzt selbst rechnen
Gib die Zeilenumformungen ein, z. B. II − 3·I. Wenn du festhängst, hilft „Tipp: nächster Schritt“.
Bestimme den Rang der Matrix.
Bring die Matrix auf Stufenform und zähle die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.
| −1 | 1 | 1 |
| −1 | 1 | −1 |
| 2 | −2 | 4 |
Deine Antwort
Typische Fehler
- Nicht ganz bis zur Stufenform gerechnet: Zwei Zeilen können voneinander abhängen, obwohl noch keine Nullzeile zu sehen ist.
- Die Zeilen gezählt, die irgendwo eine Null enthalten: Es zählen nur Zeilen, die ganz aus Nullen bestehen, und die fallen weg.
- Bei einer breiten Matrix (z. B. 3×4) einen Rang von 4 angegeben: Der Rang kann nie größer als die Zahl der Zeilen sein.
Häufige Fragen
Was sagt der Rang über ein Gleichungssystem?
Ist Rang(A) = Rang(A|b), ist das System lösbar. Ist dieser Rang außerdem gleich der Zahl der Unbekannten, gibt es genau eine Lösung (Satz von Rouché-Capelli bzw. Kronecker-Capelli).
Zeilenrang oder Spaltenrang?
Beide sind immer gleich. Deshalb reicht es, die Zeilen auf Stufenform zu bringen.
Wann hat eine quadratische Matrix vollen Rang?
Genau dann, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Dann ist sie auch invertierbar.