Inverse Matrix berechnen mit dem Gauß-Jordan-Verfahren
Die Inverse berechnest du mit dem Gauß-Jordan-Verfahren: Schreibe die Einheitsmatrix neben A und forme so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann A⁻¹.
So gehst du vor
- 1
Schreibe (A | E): links die Matrix, rechts die Einheitsmatrix.
- 2
Erzeuge Nullen unter der Diagonale wie beim Gauß-Verfahren.
- 3
Erzeuge danach Nullen über der Diagonale, von unten nach oben.
- 4
Teile jede Zeile durch ihr Diagonalelement, sodass links lauter Einsen stehen.
- 5
Rechts steht jetzt A⁻¹. Probe: A · A⁻¹ = E.
Beispiel mit Musterlösung
Musterlösung
Ausgangsmatrix
2 3 1 0 1 1 0 1 1. I ↔ II
1 1 0 1 2 3 1 0 2. II − 2·I
1 1 0 1 0 1 1 −2 3. I − II
1 0 −1 3 0 1 1 −2
Links steht die Einheitsmatrix, geschafft! Rechts steht die Inverse.
Jetzt selbst rechnen
Gib die Zeilenumformungen ein, z. B. II − 3·I. Wenn du festhängst, hilft „Tipp: nächster Schritt“.
Berechne die Inverse.
Forme so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann die Inverse.
| −2 | −1 | 5 | 1 | 0 | 0 |
| −1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| −1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 |
Typische Fehler
- Nur die linke Seite umgeformt: Jede Umformung gilt für die ganze Zeile, also auch für die rechte Hälfte.
- Spalten statt Zeilen umgeformt: Beim Gauß-Jordan-Verfahren sind nur Zeilenumformungen erlaubt.
- Bei einer Nullzeile links weitergerechnet: Dann ist A nicht invertierbar (det A = 0).
Häufige Fragen
Wann gibt es keine Inverse?
Wenn die Determinante 0 ist. Beim Umformen entsteht dann links eine Nullzeile.
Gibt es eine Formel für 2×2-Matrizen?
Ja: Für A = (a b; c d) ist A⁻¹ = 1/(ad − bc) · (d −b; −c a). Ab 3×3 ist Gauß-Jordan meist schneller als die Formel mit der Adjunkten.
Wozu braucht man die Inverse?
Mit ihr lässt sich Ax = b als x = A⁻¹b lösen, auch für viele rechte Seiten auf einmal.