Lösbarkeit von LGS: keine, eine oder unendlich viele Lösungen?
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Welcher Fall vorliegt, siehst du an der Stufenform der erweiterten Matrix.
So gehst du vor
- 1
Bring die erweiterte Matrix (A|b) auf Stufenform.
- 2
Steht dort eine Zeile 0 0 0 | c mit c ≠ 0, ist das ein Widerspruch: keine Lösung, denn Rang(A) < Rang(A|b).
- 3
Sonst ist das System lösbar. Gibt es so viele Stufen wie Unbekannte, ist die Lösung eindeutig.
- 4
Gibt es weniger Stufen als Unbekannte, bleiben freie Variablen: unendlich viele Lösungen. Anzahl der Parameter = Unbekannte − Rang.
Beispiel mit Musterlösung
Musterlösung
Ausgangsmatrix
−1 −4 1 11 −1 −2 0 3 −2 −2 −1 6 1. II − I
−1 −4 1 11 0 2 −1 −8 −2 −2 −1 6 2. III − 2·I
−1 −4 1 11 0 2 −1 −8 0 6 −3 −16 3. III − 3·II
−1 −4 1 11 0 2 −1 −8 0 0 0 8 4. 1/8·III
−1 −4 1 11 0 2 −1 −8 0 0 0 1
Rang(A) = 2, Rang(A|b) = 3: Keine Lösung.
Eine Zeile lautet 0 = c mit c ≠ 0, ein Widerspruch.
Jetzt selbst rechnen
Gib die Zeilenumformungen ein, z. B. II − 3·I. Wenn du festhängst, hilft „Tipp: nächster Schritt“.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem?
Bring die erweiterte Matrix auf Stufenform und vergleiche Rang(A) mit Rang(A|b).
| 3 | −1 | −2 | −17 |
| 0 | −3 | −1 | −15 |
| −3 | 4 | 5 | 32 |
Deine Antwort
Typische Fehler
- Eine Nullzeile 0 0 0 | 0 als Widerspruch gedeutet: Sie ist immer erfüllt und steht für einen freien Parameter.
- Aus „weniger Gleichungen als Unbekannte“ auf unendlich viele Lösungen geschlossen: Das System kann trotzdem widersprüchlich sein.
- Die rechte Seite beim Umformen vergessen: Dann verschwindet ein Widerspruch, den es eigentlich gibt.
Häufige Fragen
Was besagt der Satz von Rouché-Capelli?
Ax = b ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b). Die Lösung ist eindeutig, wenn dieser Rang gleich der Zahl der Unbekannten ist.
Wie schreibe ich unendlich viele Lösungen auf?
Setze die freie Variable als Parameter, z. B. x₃ = t, und drücke die anderen Variablen durch t aus. Die Lösungen bilden dann eine Gerade oder Ebene.
Kann ein homogenes System Ax = 0 unlösbar sein?
Nein, x = 0 ist immer eine Lösung. Es hat entweder nur diese oder unendlich viele Lösungen.