Gauß-Verfahren üben: lineare Gleichungssysteme lösen
Beim Gauß-Verfahren bringst du die erweiterte Koeffizientenmatrix mit Zeilenumformungen auf Stufenform und setzt dann von unten nach oben ein. Hier rechnest du selbst: Du gibst jede Umformung ein, und die Matrix ändert sich sofort.
So gehst du vor
- 1
Schreibe das System als erweiterte Matrix (A|b): jede Gleichung eine Zeile, rechts vom Strich die rechte Seite.
- 2
Wähle in der ersten Spalte ein Pivotelement ungleich 0, am besten eine 1 (notfalls Zeilen tauschen).
- 3
Erzeuge darunter Nullen: Ziehe von jeder Zeile ein passendes Vielfaches der Pivotzeile ab, z. B. II − 3·I.
- 4
Wiederhole das für die nächsten Spalten, bis die Stufenform erreicht ist.
- 5
Setze von unten nach oben ein oder eliminiere auch oberhalb der Pivots (Gauß-Jordan), bis du die Lösung ablesen kannst.
Beispiel mit Musterlösung
Musterlösung
Ausgangsmatrix
−2 3 3 −2 1 1 1. II − I
−2 3 3 0 −2 −2 2. −1/2·II
−2 3 3 0 1 1 3. I − 3·II
−2 0 0 0 1 1 4. −1/2·I
1 0 0 0 1 1
x₁ = 0, x₂ = 1
Jetzt selbst rechnen
Gib die Zeilenumformungen ein, z. B. II − 3·I. Wenn du festhängst, hilft „Tipp: nächster Schritt“.
Löse das lineare Gleichungssystem.
Forme mit Zeilenumformungen um, bis du die Lösung ablesen kannst, und trage sie unten ein.
| −2 | 1 | −10 |
| −4 | 0 | −20 |
x₁, x₂ | b
Deine Antwort
Typische Fehler
- Die rechte Seite vergessen: Jede Umformung gilt für die ganze Zeile, also auch rechts vom Strich.
- Vorzeichenfehler beim Abziehen negativer Zahlen: Steht in Zeile I eine −2, ergibt II − 3·I dort +6.
- Mit einer Zeile weiterrechnen, die schon verändert wurde, ohne es zu merken: Immer eine Umformung nach der anderen und mit der aktuellen Matrix.
- Eine Zeile mit 0 multiplizieren: Das ist keine erlaubte Umformung, dabei geht eine Gleichung verloren.
Häufige Fragen
Welche Zeilenumformungen sind erlaubt?
Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Diese drei Umformungen ändern die Lösungsmenge nicht.
Was ist der Unterschied zwischen Gauß und Gauß-Jordan?
Beim Gauß-Verfahren reicht die Stufenform, danach setzt du rückwärts ein. Beim Gauß-Jordan-Verfahren eliminierst du auch oberhalb der Pivots und machst alle Pivots zu 1. Dann steht die Lösung direkt rechts vom Strich.
Wie vermeide ich Brüche?
Nimm als Pivot möglichst eine 1 (Zeilen tauschen) oder rechne mit Kombinationen wie 2·III − 3·I. Hat eine Zeile einen gemeinsamen Teiler, kürze sie, z. B. ½·II.