Satz von Bayes: positiver Test, wie wahrscheinlich krank?
Der Klassiker der bedingten Wahrscheinlichkeit: Bei seltenen Krankheiten ist ein positiver Test oft weniger aussagekräftig als gedacht.
Beispiel mit Rechenweg
Eine Krankheit hat eine Häufigkeit von 5 %. Ein Test erkennt Kranke mit 95 % (Sensitivität) und Gesunde mit 95 % (Spezifität). Wie groß ist P(krank | Test positiv)?
Rechenweg
- 1.P(+) = 0,95 · 0,05 + 0,05 · 0,95 = 0,0950
- 2.Bayes: P(krank | +) = P(+ | krank) · P(krank) / P(+) = 0,0475 / 0,0950 = 0,5000
Typischer Fehler: P(krank | +) mit der Sensitivität P(+ | krank) verwechseln.
Jetzt selbst rechnen
Drei Aufgaben genau dieses Typs, jedes Mal mit anderen Zahlen. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Eine Krankheit hat eine Häufigkeit von 5 %. Ein Test erkennt Kranke mit 95 % (Sensitivität) und Gesunde mit 95 % (Spezifität). Wie groß ist P(krank | Test positiv)?
P (auf 4 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Formeln zum Thema
- P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
- Totale Wahrscheinlichkeit: P(B) = P(B | A) · P(A) + P(B | Ā) · P(Ā)
- Bayes: P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)
Typischer Fehler: P(krank | +) mit der Sensitivität P(+ | krank) verwechseln.
Häufige Fragen
Was ist der typische Fehler bei „Satz von Bayes: positiver Test, wie wahrscheinlich krank?“?
P(krank | +) mit der Sensitivität P(+ | krank) verwechseln.
Warum ist P(krank | positiv) oft so klein?
Bei seltenen Krankheiten gibt es viel mehr Gesunde; schon wenige falsch Positive unter ihnen überwiegen die wenigen richtig Positiven.