Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes
P(A | B) ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B schon feststeht. Mit dem Satz von Bayes dreht man die Bedingung um.
Formeln
- P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
- Totale Wahrscheinlichkeit: P(B) = P(B | A) · P(A) + P(B | Ā) · P(Ā)
- Bayes: P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Eine Krankheit hat eine Häufigkeit von 2 %. Ein Test erkennt Kranke mit 90 % (Sensitivität) und Gesunde mit 97 % (Spezifität). Wie groß ist P(krank | Test positiv)?
P (auf 4 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Eine Krankheit hat eine Häufigkeit von 5 %. Ein Test erkennt Kranke mit 95 % (Sensitivität) und Gesunde mit 97 % (Spezifität). Wie groß ist P(krank | Test positiv)?
Rechenweg
- 1.P(+) = 0,95 · 0,05 + 0,03 · 0,95 = 0,0760
- 2.Bayes: P(krank | +) = P(+ | krank) · P(krank) / P(+) = 0,0475 / 0,0760 = 0,6250
Typischer Fehler: P(krank | +) mit der Sensitivität P(+ | krank) verwechseln.
Vierfeldertafel: bestanden (B) und Vorlesung besucht (V). Wie groß ist P(B | V)?
Rechenweg
- 1.P(B | V) = Anzahl (B und V) / Anzahl V = 27 / (27 + 23) = 0,5400
Typischer Fehler: Durch die Gesamtzahl statt durch die Spaltensumme der Bedingung teilen.
Häufige Fragen
Warum ist P(krank | positiv) oft so klein?
Bei seltenen Krankheiten gibt es viel mehr Gesunde; schon wenige falsch Positive unter ihnen überwiegen die wenigen richtig Positiven.