Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist P = günstige durch mögliche Ergebnisse. Die Kombinatorik hilft beim Zählen.
Formeln
- Laplace: P(A) = |A| / |Ω|
- Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: (n über k) = n! / (k! · (n − k)!)
- Mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: n! / (n − k)!
Jetzt selbst rechnen
Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 8 ist?
P (auf 4 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 5 ist?
Rechenweg
- 1.Laplace: P = günstige / mögliche Ergebnisse; mögliche Ergebnisse: 6 · 6 = 36
- 2.Günstig (Summe 5): 4 Paare
- 3.P = 4 / 36 = 0,1111
Typischer Fehler: (2|5) und (5|2) nur einmal zählen; es sind zwei verschiedene Ergebnisse.
Aus 11 Studierenden wird eine Arbeitsgruppe von 2 Personen gebildet. Wie viele verschiedene Gruppen sind möglich?
Rechenweg
- 1.Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: Binomialkoeffizient
- 2.(11 über 2) = 11! / (2! · 9!) = 55
Typischer Fehler: Mit Reihenfolge rechnen (n!/(n−k)!); in einer Gruppe spielt die Reihenfolge keine Rolle.
Häufige Fragen
Wann gilt Laplace?
Nur wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, etwa bei einem fairen Würfel.
Woran erkenne ich, ob die Reihenfolge zählt?
Wenn eine andere Reihenfolge ein anderes Ergebnis ist (Platzierungen, PIN), zählt sie; bei Gruppen oder Lottozahlen nicht.