Konfidenzintervall mit der t-Verteilung
Wird σ aus der Stichprobe geschätzt, nimmt man das t-Quantil mit n − 1 Freiheitsgraden statt z.
Beispiel mit Rechenweg
Stichprobe: n = 16, x̄ = 59,3, s = 5; σ ist unbekannt. Bestimme das 95-%-Konfidenzintervall (t-Quantil mit 15 Freiheitsgraden: 2,131).
Rechenweg
- 1.σ unbekannt → t-Verteilung mit n − 1 = 15 Freiheitsgraden
- 2.t · s / √n = 2,131 · 5 / 4 = 2,6638
- 3.[56,64; 61,96]
Typischer Fehler: Bei unbekanntem σ den z-Wert 1,96 statt des t-Quantils nehmen.
Jetzt selbst rechnen
Drei Aufgaben genau dieses Typs, jedes Mal mit anderen Zahlen. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Stichprobe: n = 36, x̄ = 34,3, s = 6; σ ist unbekannt. Bestimme das 95-%-Konfidenzintervall (t-Quantil mit 35 Freiheitsgraden: 2,030).
Untere Grenze (auf 2 Nachkommastellen)
Obere Grenze (auf 2 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Formeln zum Thema
- σ bekannt: x̄ ± z · σ / √n
- σ unbekannt: x̄ ± t(n − 1) · s / √n
- Mindest-n für Fehlerspanne E: n ≥ (z · σ / E)², aufrunden
Typischer Fehler: Bei unbekanntem σ den z-Wert 1,96 statt des t-Quantils nehmen.
Häufige Fragen
Was ist der typische Fehler bei „Konfidenzintervall mit der t-Verteilung“?
Bei unbekanntem σ den z-Wert 1,96 statt des t-Quantils nehmen.
Wann nimmt man t statt z?
Wenn σ unbekannt ist und aus der Stichprobe als s geschätzt wird, besonders bei kleinen Stichproben.
Was bedeutet 95 %?
Bei vielen Wiederholungen überdecken etwa 95 % der so berechneten Intervalle den wahren Mittelwert.