Hypothesentest: z-Test und t-Test
Ein Test prüft, ob die Daten gegen die Nullhypothese H₀ sprechen. Man vergleicht eine Teststatistik mit einem kritischen Wert.
Formeln
- 1. H₀ und H₁ aufstellen, α festlegen
- 2. Teststatistik: z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n) bzw. t = (x̄ − μ₀) / (s / √n)
- 3. Vergleich mit dem kritischen Wert (zweiseitig |z|, einseitig nur in Richtung H₁)
- 4. Entscheidung: H₀ ablehnen oder nicht ablehnen
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Ein Hersteller gibt μ = 100 an. Eine Stichprobe mit n = 100 ergibt x̄ = 98,27; σ = 10 ist bekannt. Teste zweiseitig H₀: μ = 100 auf dem Niveau α = 5 % (kritischer Wert 1,96).
Teststatistik z (auf 2 Nachkommastellen)
Entscheidung
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Ein Hersteller gibt μ = 50 an. Eine Stichprobe mit n = 49 ergibt x̄ = 50,89; σ = 5 ist bekannt. Teste zweiseitig H₀: μ = 50 auf dem Niveau α = 5 % (kritischer Wert 1,96).
Rechenweg
- 1.z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n) = (50,89 − 50) / (5 / 7) = 1,25
- 2.|z| = 1,25 ≤ 1,96 → H₀ nicht ablehnen
Typischer Fehler: „H₀ nicht ablehnen“ als „H₀ ist bewiesen“ deuten.
Es soll geprüft werden, ob die mittlere Lernzeit über 20 Minuten liegt (H₀: μ ≤ 20, H₁: μ > 20). Stichprobe: n = 36, x̄ = 21,16, s = 5. α = 5 %, kritischer Wert t = 1,690.
Rechenweg
- 1.t = (x̄ − μ₀) / (s / √n) = (21,16 − 20) / (5 / 6) = 1,39
- 2.t = 1,39 ≤ 1,690 → H₀ nicht ablehnen
Typischer Fehler: Beim einseitigen Test den Betrag |t| vergleichen; bei H₁: μ > μ₀ zählen nur große positive Werte.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen ein- und zweiseitig?
Zweiseitig prüft Abweichungen in beide Richtungen (μ ≠ μ₀), einseitig nur in eine (μ > μ₀ oder μ < μ₀) und hat einen anderen kritischen Wert.
Was ist ein Fehler 1. Art?
H₀ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens α.