Varianz und Standardabweichung berechnen
Streuungsmaße zeigen, wie weit die Werte um den Mittelwert verteilt sind. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Daten.
Formeln
- Stichprobe: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
- Grundgesamtheit: σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
- Standardabweichung: s = √s² bzw. σ = √σ²
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Aus einer Stichprobe stammen diese Werte. Berechne die Stichprobenvarianz s² und die Standardabweichung s.
Daten (n = 6)
s² (auf 2 Nachkommastellen)
s (auf 2 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Aus einer Stichprobe stammen diese Werte. Berechne die Stichprobenvarianz s² und die Standardabweichung s.
3; 6; 11; 7; 6; 11; 4
Rechenweg
- 1.x̄ = 48 / 7 = 6,8571
- 2.Σ(xᵢ − x̄)² = 58,8571
- 3.s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) = 58,8571 / 6 = 9,81
- 4.s = √s² = 3,13
Typischer Fehler: Bei einer Stichprobe durch n statt durch n − 1 teilen.
Ein Kurs hat genau diese Klausurnoten in Punkten (das ist die ganze Grundgesamtheit). Berechne die Varianz σ² und die Standardabweichung σ.
13; 11; 12; 10; 2
Rechenweg
- 1.μ = 48 / 5 = 9,6000
- 2.σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N = 77,2000 / 5 = 15,44
- 3.σ = √σ² = 3,93
Typischer Fehler: Bei der Grundgesamtheit durch N − 1 teilen; das gilt nur für Stichproben.
Häufige Fragen
Warum teilt man bei der Stichprobe durch n − 1?
Weil der Stichprobenmittelwert aus denselben Daten geschätzt wird, wäre die Streuung mit n systematisch zu klein. n − 1 korrigiert das (erwartungstreue Schätzung).
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist der mittlere quadrierte Abstand, die Standardabweichung die Wurzel daraus und damit in der Einheit der Daten.