Normalverteilung: z-Wert, Wahrscheinlichkeit, Quantil
Jede Normalverteilung lässt sich mit z = (x − μ) / σ auf die Standardnormalverteilung zurückführen und mit der Φ-Tabelle ablesen.
Formeln
- z = (x − μ) / σ
- P(X ≤ a) = Φ(z)
- P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
- Φ(−z) = 1 − Φ(z); Quantil: x = μ + z · σ
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 20 ml. Welche Menge wird von 97,5 % der Packungen unterschritten? (z = 1,960)
x (auf 2 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Die Körpergröße (oder ein Messwert) ist normalverteilt mit μ = 70 und σ = 10. Wie groß ist P(X ≤ 55,20)?
Rechenweg
- 1.z = (x − μ) / σ = (55,20 − 70) / 10 = -1,48
- 2.P(X ≤ 55,20) = Φ(-1,48) = 0,0694 (Tabelle)
Typischer Fehler: Bei negativem z Φ(z) direkt nachschlagen wollen: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Die Füllmenge ist normalverteilt mit μ = 1000 ml und σ = 20 ml. Welche Menge wird von 97,5 % der Packungen unterschritten? (z = 1,960)
Rechenweg
- 1.x = μ + z · σ = 1000 + 1,960 · 20 = 1039,20
Typischer Fehler: z mit dem Quantil p verwechseln und p·σ rechnen.
Häufige Fragen
Wie lese ich negative z-Werte ab?
Die Tabelle enthält meist nur positive z: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Was bedeutet die 68-95-99,7-Regel?
Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb ±1σ, 95 % innerhalb ±2σ und 99,7 % innerhalb ±3σ um μ.