Konfidenzintervall für den Mittelwert
Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, der den wahren Mittelwert mit einer gewählten Sicherheit überdeckt.
Formeln
- σ bekannt: x̄ ± z · σ / √n
- σ unbekannt: x̄ ± t(n − 1) · s / √n
- Mindest-n für Fehlerspanne E: n ≥ (z · σ / E)², aufrunden
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein, damit das 99-%-Konfidenzintervall für μ höchstens ±1,0 breit ist? σ = 15, z = 2,576.
Mindest-n
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Eine Stichprobe mit n = 64 hat den Mittelwert x̄ = 77,1. σ = 12 ist bekannt. Bestimme das 99-%-Konfidenzintervall für μ (z = 2,576).
Rechenweg
- 1.σ / √n = 12 / 8 = 1,5000
- 2.Fehlerspanne: z · σ / √n = 2,576 · 1,5000 = 3,8640
- 3.[77,1 − 3,8640; 77,1 + 3,8640] = [73,24; 80,96]
Typischer Fehler: Durch n statt durch √n teilen.
Stichprobe: n = 36, x̄ = 44,8, s = 9; σ ist unbekannt. Bestimme das 95-%-Konfidenzintervall (t-Quantil mit 35 Freiheitsgraden: 2,030).
Rechenweg
- 1.σ unbekannt → t-Verteilung mit n − 1 = 35 Freiheitsgraden
- 2.t · s / √n = 2,030 · 9 / 6 = 3,0450
- 3.[41,75; 47,85]
Typischer Fehler: Bei unbekanntem σ den z-Wert 1,96 statt des t-Quantils nehmen.
Häufige Fragen
Wann nimmt man t statt z?
Wenn σ unbekannt ist und aus der Stichprobe als s geschätzt wird, besonders bei kleinen Stichproben.
Was bedeutet 95 %?
Bei vielen Wiederholungen überdecken etwa 95 % der so berechneten Intervalle den wahren Mittelwert.