Normalverteilung: z-Wert und P(X ≤ a)
Jede Normalverteilung wird über den z-Wert auf die Standardnormalverteilung zurückgeführt. Für negative z gilt Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Beispiel mit Rechenweg
Die Körpergröße (oder ein Messwert) ist normalverteilt mit μ = 120 und σ = 15. Wie groß ist P(X ≤ 102,45)?
Rechenweg
- 1.z = (x − μ) / σ = (102,45 − 120) / 15 = -1,17
- 2.P(X ≤ 102,45) = Φ(-1,17) = 0,1210 (Tabelle)
Typischer Fehler: Bei negativem z Φ(z) direkt nachschlagen wollen: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Jetzt selbst rechnen
Drei Aufgaben genau dieses Typs, jedes Mal mit anderen Zahlen. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
Die Körpergröße (oder ein Messwert) ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 12. Wie groß ist P(X ≤ 68,36)?
z-Wert (auf 2 Nachkommastellen)
P (auf 4 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Formeln zum Thema
- z = (x − μ) / σ
- P(X ≤ a) = Φ(z)
- P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
- Φ(−z) = 1 − Φ(z); Quantil: x = μ + z · σ
Typischer Fehler: Bei negativem z Φ(z) direkt nachschlagen wollen: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Häufige Fragen
Was ist der typische Fehler bei „Normalverteilung: z-Wert und P(X ≤ a)“?
Bei negativem z Φ(z) direkt nachschlagen wollen: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Wie lese ich negative z-Werte ab?
Die Tabelle enthält meist nur positive z: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Was bedeutet die 68-95-99,7-Regel?
Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb ±1σ, 95 % innerhalb ±2σ und 99,7 % innerhalb ±3σ um μ.