Binomialverteilung: P(X = k) und P(X ≤ k)
Die Binomialverteilung zählt Treffer bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p.
Formeln
- P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k)
- E(X) = n · p, σ = √(n · p · (1 − p))
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe
8 Bauteile werden geprüft, jedes ist mit Wahrscheinlichkeit 0,50 defekt. Wie groß ist P(höchstens 2 defekt)?
P(X ≤ 2) (auf 4 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Eine Multiple-Choice-Frage wird mit Wahrscheinlichkeit 0,20 richtig geraten. Es werden 10 Fragen geraten. Wie groß ist P(genau 4 richtig)?
Rechenweg
- 1.X ~ B(n = 10; p = 0,20)
- 2.P(X = 4) = (10 über 4) · 0,20^4 · 0,80^6
- 3.= 210 · 0,001600 · 0,262144 = 0,0881
Typischer Fehler: Den Binomialkoeffizienten vergessen.
10 Bauteile werden geprüft, jedes ist mit Wahrscheinlichkeit 0,50 defekt. Wie groß ist P(höchstens 3 defekt)?
Rechenweg
- 1.X ~ B(10; 0,50)
- 2.P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
- 3.= 0,0010 + 0,0098 + 0,0439 + 0,1172 = 0,1719
Typischer Fehler: „Höchstens k“ ohne P(X = 0) rechnen.
Häufige Fragen
Wann ist eine Zufallsgröße binomialverteilt?
Bei n gleichen, unabhängigen Versuchen mit nur zwei Ausgängen (Treffer/kein Treffer) und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit p.
Wie rechnet man „mindestens k“?
Mit dem Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).