Gauß-Verfahren Rechner: LGS lösen mit Rechenweg
Koeffizienten eintragen und lösen lassen. Du siehst jede Zeilenumformung mit der Matrix danach, exakt mit Brüchen statt gerundeter Dezimalzahlen. Erkennt auch, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Alternativ: Determinante berechnen.
Größe
Ergebnis
x₁ = 2
x₂ = 3
x₃ = −1
Rechenweg
Ausgangsmatrix
| 2 | 1 | −1 | 8 |
| −3 | −1 | 2 | −11 |
| −2 | 1 | 2 | −3 |
12·II + 3·I
| 2 | 1 | −1 | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 2 |
| −2 | 1 | 2 | −3 |
2III + I
| 2 | 1 | −1 | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 2 |
| 0 | 2 | 1 | 5 |
3III − 2·II
| 2 | 1 | −1 | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | −1 | 1 |
4−III
| 2 | 1 | −1 | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | −1 |
5I + III
| 2 | 1 | 0 | 7 |
| 0 | 1 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | −1 |
6II − III
| 2 | 1 | 0 | 7 |
| 0 | 1 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | −1 |
7I − II
| 2 | 0 | 0 | 4 |
| 0 | 1 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | −1 |
81/2·I
| 1 | 0 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 0 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | −1 |
So geht das Gauß-Verfahren
- Gleichungssystem als erweiterte Matrix schreiben: Koeffizienten links, rechte Seite hinter dem Strich.
- Mit Zeilenumformungen unter jedem Pivot Nullen erzeugen (Zeilenstufenform): Zeilen tauschen, mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren, Vielfache einer Zeile addieren.
- Von unten nach oben auflösen, oder weiter umformen, bis links die Einheitsmatrix steht (Gauß-Jordan).
- Zeile der Form 0 … 0 | c mit c ≠ 0: keine Lösung.
- Weniger Pivots als Unbekannte (und kein Widerspruch): unendlich viele Lösungen mit freien Parametern.
Determinante: Beim Umformen auf Zeilenstufenform wechselt jede Vertauschung das Vorzeichen. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonale (mit diesem Vorzeichen).
Häufige Fragen
Warum rechnet der Rechner mit Brüchen?+
Damit kein Rundungsfehler entsteht. In der Klausur rechnest du auch exakt, und so kannst du jeden Schritt mit deinem vergleichen.
Mein Rechenweg sieht anders aus. Ist er falsch?+
Nicht unbedingt. Es gibt viele richtige Wege mit anderen Umformungen. Am Ende muss dieselbe Lösung herauskommen.