Konfidenzintervall berechnen: Rechner mit Rechenweg
Für den Mittelwert mit bekanntem σ (z-Verteilung), mit geschätzter Standardabweichung s (t-Verteilung) oder für einen Anteil. Das passende Quantil wird exakt berechnet, du brauchst keine Tabelle.
Ergebnis
- 95-%-Konfidenzintervall
- [47,1386; 52,8614]
- Fehlermarge e
- 2,8614
- Quantil t
- 2,2622
- Intervallbreite
- 5,7229
Rechenweg
- 1α = 1 − 0,95 = 0,05; benötigt wird das Quantil zu 1 − α/2 = 0,975
- 2σ ist unbekannt → t-Verteilung mit n − 1 = 9 Freiheitsgraden: t = 2,2622
- 3Fehlermarge e = t · s / √n = 2,2622 · 4 / 3,1623 = 2,86143
- 4Intervall = x̄ ± e = 50 ± 2,86143 = [47,1386; 52,8614]
Die Formeln
| Fall | Intervall |
|---|---|
| Mittelwert, σ bekannt | x̄ ± z · σ / √n |
| Mittelwert, σ unbekannt | x̄ ± t(n − 1) · s / √n |
| Anteil | p̂ ± z · √(p̂ · (1 − p̂) / n) |
- Das Quantil gehört zu 1 − α/2: bei 95 % also zu 0,975 (z = 1,96).
- Die t-Verteilung hat n − 1 Freiheitsgrade. Bei kleinen Stichproben ist t deutlich größer als z, das Intervall also breiter.
- Ein größeres n macht das Intervall schmaler, ein höheres Konfidenzniveau breiter.
Ein 95-%-Konfidenzintervall heißt nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin liegt. Es heißt: Bei vielen Stichproben würden etwa 95 % der so berechneten Intervalle den wahren Wert enthalten.
Häufige Fragen
Wann nehme ich z, wann t?+
z, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ bekannt ist. Wird sie aus der Stichprobe geschätzt (s), nimmst du die t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
Warum weicht mein t-Wert aus der Tabelle leicht ab?+
Tabellen runden meist auf drei Nachkommastellen. Der Rechner berechnet das Quantil genauer; der Unterschied liegt höchstens in der letzten Stelle.