Bestimmtes Integral berechnen

Das bestimmte Integral berechnest du mit dem Hauptsatz: Stammfunktion bilden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, abziehen.

Regeln

Hauptsatz: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
Die Konstante $C$ fällt beim Abziehen weg
Vertauschte Grenzen: $\int_{b}^{a} f d x = - \int_{a}^{b} f d x$
Fläche unter der x-Achse zählt negativ; für Flächeninhalte an den Nullstellen aufteilen

Jetzt selbst rechnen

Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Bestimmtes Integral

Aufgabe

Berechne

\int_{- 2}^{1} (9 x^{2} - 4 x + 5) d x

Wert des Integrals

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Berechne $\int_{- 2}^{0} (9 x^{2} + 4 x - 1) d x$

Rechenweg

1.Stammfunktion: $F (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - x$
2.Hauptsatz: $F (0) - F (- 2) = 0 - (- 14) = 14$

Typischer Fehler: $F (a) - F (b)$ statt $F (b) - F (a)$ rechnen, oder beim Einsetzen negativer Grenzen die Klammern vergessen.

Häufige Fragen

Ist das Integral dasselbe wie die Fläche?

Nur wenn die Funktion im Intervall nicht negativ ist. Liegt die Kurve unter der x-Achse, ist das Integral negativ. Für den Flächeninhalt teilt man an den Nullstellen und addiert die Beträge.

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