Integration durch Substitution

Substitution ist die Kettenregel rückwärts. Sie funktioniert, wenn eine innere Funktion und (bis auf einen Faktor) ihre Ableitung im Integranden stehen.

Regeln

Lineare Substitution: $\int g (a x + b) d x = \frac{1}{a} G (a x + b) + C$
Allgemein: $\int g (h (x)) h^{'} (x) d x = G (h (x)) + C$
Sonderfall: $\int \frac{h ^{'} ( x )}{h ( x )} d x = ln ∣ h (x) ∣ + C$
Probe: Ergebnis ableiten (Kettenregel)

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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Substitution

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion:

f (x) = 4 x e^{2 x^{2} + 2}

$F (x) =$ (ohne $+ C$ geht auch)

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Bestimme eine Stammfunktion: $f (x) = e^{3 x - 2}$

Rechenweg

1.Lineare Substitution mit $a = 3$ : Stammfunktion der äußeren Funktion, geteilt durch $a$ .
2. $F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x - 2} + C$

Typischer Fehler: Mit 3 multiplizieren statt durch 3 teilen.

Bestimme eine Stammfunktion: $f (x) = 4 x e^{2 x^{2} + 5}$

Rechenweg

1.Substitution $z = 2 x^{2} + 5$ , $d z = 4 x d x$ : der Faktor 4x ist genau die innere Ableitung.
2. $\int e^{z} d z = e^{z}$
3. $F (x) = e^{2 x^{2} + 5} + C$

Typischer Fehler: Die Ableitung im Integranden übersehen und mit partieller Integration anfangen; erst prüfen, ob „innere Ableitung mal äußere Funktion“ dasteht.

Häufige Fragen

Wann nehme ich Substitution, wann partielle Integration?

Substitution, wenn eine verkettete Funktion und ihre innere Ableitung dastehen (z. B. 2x · e hoch x²). Partielle Integration, wenn zwei verschiedene Funktionsarten multipliziert werden (z. B. x · e hoch x).

Passt dazu

Kettenregel Partielle Integration Stammfunktionen

Weitere Themen

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