Ableiten mit Potenz- und Summenregel

Die Potenzregel ist die Grundlage fast jeder Ableitung. Mit Summen- und Faktorregel leitest du damit jedes Polynom ab, und mit ein wenig Umschreiben auch Wurzeln und Brüche.

Regeln

Potenzregel: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Faktorregel: $(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}$
Summenregel: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$
Konstante: $(c)^{'} = 0$
Umschreiben: $x = x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}$

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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Potenz- & Summenregel

Aufgabe

Leite ab:

f (x) = - 2 x^{4} + 3 x^{2} - 8 x - 9

$f^{'} (x) =$

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Leite ab: $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 3 x$

Rechenweg

1.Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten.
2.Potenzregel: $(a x^{n})^{'} = a \cdot n x^{n - 1}$ ; eine Konstante fällt weg.
3. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 3$

Typischer Fehler: Den Exponenten nicht um 1 verringern oder die Konstante stehen lassen.

Leite ab: $f (x) = 4 x + \frac{3}{x ^{2}}$ (für $x > 0$ )

Rechenweg

1.Als Potenzen schreiben: $x = x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ .
2.Potenzregel auf beide Summanden anwenden.
3. $f^{'} (x) = \frac{2}{x} - \frac{6}{x ^{3}}$

Typischer Fehler: Bei $x^{- 2}$ den Exponenten erhöhen statt verringern: richtig ist $- 2 - 1 = - 3$ .

Häufige Fragen

Wie leite ich eine Wurzel ab?

Schreibe die Wurzel als Potenz mit Bruch im Exponenten, also Wurzel x = x hoch 1/2, und wende die Potenzregel an: Ableitung 1/2 · x hoch −1/2 = 1 / (2 Wurzel x).

Wie leite ich 1/x ab?

1/x = x hoch −1, Ableitung −1 · x hoch −2 = −1/x². Der Exponent wird um 1 kleiner, also von −1 auf −2.

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