Partielle Integration

Partielle Integration ist die Produktregel rückwärts. Entscheidend ist die Wahl von u und v': das neue Integral muss einfacher werden.

Regeln

$\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x$
$u$ : der Teil, der beim Ableiten einfacher wird (Polynome, $ln x$ )
$v^{'}$ : der Teil, den du leicht integrieren kannst ( $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ )
Trick bei $\int ln x d x$ : $ln x = 1 \cdot ln x$

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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Partielle Integration

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion:

f (x) = ln (x)

$F (x) =$ (ohne $+ C$ geht auch)

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Bestimme eine Stammfunktion: $f (x) = 2 x sin (x)$

Rechenweg

1.Partielle Integration mit $u = x$ , $v^{'} = sin x$ : $v = - cos x$ .
2. $\int x sin x d x = - x cos x + \int cos x d x = sin x - x cos x$
3. $F (x) = 2 (sin (x) - x cos (x)) + C$

Typischer Fehler: Beim Integrieren von $sin x$ das Minus vergessen: $\int sin x d x = - cos x$ .

Häufige Fragen

Wie wähle ich u und v'?

Faustregel LIATE: Logarithmus, inverse Funktionen, algebraische (Polynome), trigonometrische, Exponentialfunktionen. Was weiter vorne steht, wird u.

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