Stammfunktion bilden

Eine Stammfunktion F ist eine Funktion, deren Ableitung f ergibt. Integrieren ist also Ableiten rückwärts, und die Probe ist immer: F ableiten.

Regeln

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (für $n \neq = - 1$ )
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$
Summen und Faktoren wie beim Ableiten

Jetzt selbst rechnen

Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Stammfunktionen

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion:

f (x) = 12 x^{2} + 2 x + 6

$F (x) =$ (ohne $+ C$ geht auch)

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Bestimme eine Stammfunktion: $f (x) = 12 x^{2} + 8 x - 3$

Rechenweg

1.Potenzregel rückwärts: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (für $n \neq = - 1$ ).
2.Jeden Summanden einzeln integrieren, eine Konstante $a$ wird zu $a x$ .
3. $F (x) = 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + C$
4.Probe: $F^{'} (x) = f (x)$ .

Typischer Fehler: Durch den alten statt den neuen Exponenten teilen: $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$ , nicht $\frac{x ^{3}}{2}$ .

Bestimme eine Stammfunktion: $f (x) = 4 e^{x} - \frac{6}{x} - 2 cos (x)$

Rechenweg

1.Grundintegrale: $\int e^{x} d x = e^{x}$ , $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣$ , $\int cos x d x = sin x$ , $\int sin x d x = - cos x$ .
2. $F (x) = 4 e^{x} - 6 ln ∣ x ∣ - 2 sin (x) + C$

Typischer Fehler: $\int \frac{1}{x} d x$ mit der Potenzregel rechnen: $\frac{x ^{0}}{0}$ geht nicht, die Stammfunktion ist $ln ∣ x ∣$ .

Häufige Fragen

Warum schreibt man + C?

Beim Ableiten fällt jede Konstante weg. Deshalb hat jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante C unterscheiden.

Wie prüfe ich meine Stammfunktion?

Leite sie ab. Kommt die ursprüngliche Funktion heraus, ist sie richtig.

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