Grenzwerte und Regel von L’Hospital

Viele Grenzwerte ergeben beim Einsetzen 0/0 oder ∞/∞. Dann hilft Ausklammern der höchsten Potenz oder die Regel von L’Hospital.

Regeln

Gleicher Grad im Zähler und Nenner, $x \to \infty$ : Verhältnis der Leitkoeffizienten
L’Hospital bei $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ : $lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$
Zähler und Nenner einzeln ableiten, nicht die Quotientenregel
Bekannt: $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ , $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$

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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Grenzwerte & L’Hospital

Aufgabe

Berechne

x \to 0 lim \frac{sin ( 5 x )}{x}

Grenzwert

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Berechne $x \to 0 lim \frac{e ^{5 x} - 1}{x}$

Rechenweg

1.Einsetzen gibt $\frac{0}{0}$ : Regel von L’Hospital, Zähler und Nenner getrennt ableiten.
2. $lim_{x \to 0} \frac{5 e ^{5 x}}{1} = 5$

Typischer Fehler: Bei L’Hospital die Quotientenregel anwenden; Zähler und Nenner werden einzeln abgeleitet.

Häufige Fragen

Wann darf ich L’Hospital anwenden?

Nur wenn das Einsetzen 0/0 oder ∞/∞ ergibt. Bei anderen Formen erst umformen, sonst kommt ein falsches Ergebnis heraus.

Passt dazu

Quotientenregel e-Funktion, ln, sin, cos Kettenregel

Weitere Themen

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