Extremstellen berechnen

An einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Steigung null. Ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, zeigt die Krümmung, also die zweite Ableitung.

Regeln

Notwendige Bedingung: $f^{'} (x_{0}) = 0$
Hinreichend: $f^{''} (x_{0}) < 0$ → Hochpunkt, $f^{''} (x_{0}) > 0$ → Tiefpunkt
Bei $f^{''} (x_{0}) = 0$ : Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ prüfen
y-Wert: $x_{0}$ in $f$ einsetzen

Jetzt selbst rechnen

Drei Aufgaben zu diesem Thema. Eingabe wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x).

Aufgabe 1 von 3Extremstellen

Aufgabe

Bestimme die Extremstellen von

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1

$x$ des Hochpunkts

$x$ des Tiefpunkts

Schreibweise wie am Taschenrechner: 3x^2 - 2/x, e^(2x), sqrt(x), ln(x), sin(x). Klammern setzen: e^(2x), nicht e^2x. Zahlen auch als 3/4 oder e^2 - 1.

Beispiel mit Rechenweg

Bestimme die Extremstellen von $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ .

Rechenweg

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$
2.Notwendige Bedingung $f^{'} (x) = 0$ : $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$
3. $f^{''} (x) = 6 x - 12$
4. $f^{''} (1) = - 6$ < 0 → Hochpunkt, $f^{''} (3) = 6$ > 0 → Tiefpunkt

Typischer Fehler: Hoch- und Tiefpunkt verwechseln: $f^{''} (x_{0}) < 0$ heißt Hochpunkt (Kurve nach unten gekrümmt).

Häufige Fragen

Was mache ich, wenn die zweite Ableitung null ist?

Dann hilft der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung: wechselt f' von + nach −, ist es ein Hochpunkt, von − nach +, ein Tiefpunkt, ohne Wechsel ein Sattelpunkt.

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