Haushaltsoptimum berechnen
Ein Haushalt verteilt sein Budget so auf zwei Güter, dass sein Nutzen am größten ist. Im Optimum berührt die höchste erreichbare Indifferenzkurve die Budgetgerade: Die Grenzrate der Substitution entspricht dem Preisverhältnis.
Formeln und Regeln
- Budgetgerade: p₁·x₁ + p₂·x₂ = B, Steigung −p₁/p₂
- Optimum: GRS = (∂U/∂x₁) / (∂U/∂x₂) = p₁/p₂
- Cobb-Douglas U = x₁^a · x₂^b: x₁* = a/(a+b) · B/p₁, x₂* = b/(a+b) · B/p₂
- Ausgabenanteil für Gut 1 = a/(a+b), unabhängig von Preisen und Budget
- Probe: Das Optimum schöpft das Budget genau aus
Jetzt selbst rechnen
Drei Aufgaben zu diesem Thema. Zahlen wie 12,5 oder 1.250 eintippen, Elastizitäten mit Vorzeichen.
Aufgabe
Ein Haushalt mit U(x₁, x₂) = x₁ · x₂ und einem Budget von 256,00 € kauft zu den Preisen p₁ = 4,00 € und p₂ = 4,00 €. Nun sinkt der Preis von Gut 1 auf 2,00 €. Bestimme die neue nachgefragte Menge von Gut 1, ihre Änderung und die Wirkung auf die Nachfrage nach Gut 2.
Neue Menge x₁
Änderung von x₁
Nachfrage nach Gut 2
Zahlen wie 12,5 oder 1.250; Elastizitäten mit Vorzeichen (−0,75); Prozent als Zahl (12,5). Auf 2 Nachkommastellen runden.
Beispiel mit Rechenweg
Ein Haushalt hat ein Budget von 1.683,00 € für zwei Güter. Gut 1 kostet 11,00 €, Gut 2 kostet 9,00 €. Bestimme die maximal kaufbaren Mengen beider Güter, die Steigung der Budgetgeraden (x₂ über x₁) und wie viel von Gut 2 bleibt, wenn der Haushalt 45 Einheiten von Gut 1 kauft.
Rechenweg
- 1.Budgetgerade: 11·x₁ + 9·x₂ = 1.683
- 2.Nur Gut 1: x₁ = 1.683 / 11 = 153; nur Gut 2: x₂ = 1.683 / 9 = 187
- 3.Nach x₂ aufgelöst: x₂ = 187 − (11/9)·x₁, Steigung −p₁/p₂ = −1,22
- 4.x₂ = (1.683 − 11 · 45) / 9 = 132
Typischer Fehler: Die Steigung als −p₂/p₁ angeben. Die Budgetgerade fällt um p₁/p₂ Einheiten Gut 2 je Einheit Gut 1: Wer eine Einheit Gut 1 mehr kauft, gibt p₁ € aus und muss dafür p₁/p₂ Einheiten Gut 2 weglassen.
Die Nutzenfunktion eines Haushalts lautet U(x₁, x₂) = x₁² · x₂². Die Preise sind p₁ = 8,00 € und p₂ = 8,00 €, das Budget beträgt 2.304,00 €. Bestimme das Haushaltsoptimum und den Anteil des Budgets, der für Gut 1 ausgegeben wird.
Rechenweg
- 1.Grenzrate der Substitution: GRS = (∂U/∂x₁) / (∂U/∂x₂) = 2x₂ / (2x₁)
- 2.Optimum: GRS = p₁/p₂ → 2x₂ / (2x₁) = 8/8 → 8·x₂ = (2/2) · 8·x₁
- 3.In die Budgetgerade: p₁x₁ · (1 + 2/2) = 2.304 → x₁* = 2/4 · 2.304 / 8 = 144
- 4.x₂* = 2/4 · 2.304 / 8 = 144
- 5.Ausgabenanteil Gut 1 = Exponent / Summe der Exponenten = 2/4 = 50,00 %
Typischer Fehler: Die GRS umgekehrt bilden (Grenznutzen von Gut 2 durch den von Gut 1) und dann mit p₁/p₂ gleichsetzen. Probe: Das Optimum muss das Budget genau ausschöpfen.
Häufige Fragen
Warum ändert sich bei Cobb-Douglas die Nachfrage nach Gut 2 nicht, wenn Gut 1 teurer wird?
Weil der Haushalt immer denselben Anteil seines Budgets für jedes Gut ausgibt. Wird Gut 1 teurer, kauft er weniger davon, gibt aber gleich viel Geld dafür aus; für Gut 2 bleibt derselbe Betrag.
Wie bilde ich die Grenzrate der Substitution?
Grenznutzen von Gut 1 geteilt durch Grenznutzen von Gut 2. Bei U = x₁^a · x₂^b kürzt sich viel weg, und es bleibt a·x₂ / (b·x₁).