Kostenkurven, Betriebsoptimum und Betriebsminimum
Aus der Kostenfunktion leitest du alles ab, was ein Unternehmen für seine Mengenentscheidung braucht: Grenzkosten, Durchschnittskosten und die beiden Preisuntergrenzen.
Formeln und Regeln
- Grenzkosten GK = K′(x); Fixkosten fallen beim Ableiten weg
- Durchschnittskosten DK = K(x)/x, durchschnittliche variable Kosten DVK = K_v(x)/x
- Betriebsoptimum: Minimum der DK → langfristige Preisuntergrenze
- Betriebsminimum: Minimum der DVK → kurzfristige Preisuntergrenze
- GK schneidet DK und DVK jeweils in deren Minimum; bei Konkurrenz gilt Angebot p = GK
Jetzt selbst rechnen
Drei Aufgaben zu diesem Thema. Zahlen wie 12,5 oder 1.250 eintippen, Elastizitäten mit Vorzeichen.
Aufgabe
Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion K(x) = 1.550 + 195x − 24x² + x³ (K in €). Bestimme das Betriebsminimum, die kurzfristige Preisuntergrenze und die Grenzkosten im Betriebsminimum. Soll das Unternehmen bei einem Marktpreis von 70,00 € kurzfristig produzieren?
Betriebsminimum x
Kurzfristige Preisuntergrenze in €
Grenzkosten im Betriebsminimum in €
Produzieren bei 70,00 €?
Zahlen wie 12,5 oder 1.250; Elastizitäten mit Vorzeichen (−0,75); Prozent als Zahl (12,5). Auf 2 Nachkommastellen runden.
Beispiel mit Rechenweg
Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion K(x) = 714 + 11x + 2x² (K in €). Berechne bei einer Menge von x = 21 die Grenzkosten, die Durchschnittskosten und die durchschnittlichen variablen Kosten.
Rechenweg
- 1.Grenzkosten = Ableitung: GK(x) = 11 + 4x → GK(21) = 11 + 4 · 21 = 95,00 €
- 2.Gesamtkosten K(21) = 714 + 231 + 882 = 1.827; DK = 1.827 / 21 = 87,00 €
- 3.Variable Kosten ohne die 714 Fixkosten: DVK = 11 + 2 · 21 = 53,00 €
Typischer Fehler: Die Fixkosten in die Grenzkosten oder die durchschnittlichen variablen Kosten mitnehmen. Fixkosten fallen beim Ableiten weg und gehören nur in die Durchschnittskosten.
Ein Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz hat die Kostenfunktion K(x) = 648 + 13x + 2x² (K in €). Bestimme das Betriebsoptimum (Minimum der Durchschnittskosten) und die langfristige Preisuntergrenze. Der Marktpreis beträgt 133,00 €: Welche Menge bietet das Unternehmen an, und welchen Gewinn macht es?
Rechenweg
- 1.DK(x) = 648/x + 13 + 2x; Minimum: DK′(x) = −648/x² + 2 = 0 → x² = 324 → x = 18
- 2.DK(18) = 36 + 13 + 36 = 85,00 € (dort schneiden sich GK und DK)
- 3.Angebot: p = GK → 133 = 13 + 4x → x = 30
- 4.Gewinn = 133 · 30 − K(30) = 3.990 − 2.838 = 1.152,00 €
Typischer Fehler: Die gewinnmaximale Menge aus p = DK statt aus p = GK bestimmen. Bei Konkurrenz gilt Preis = Grenzkosten; p = DK liefert nur die Menge, bei der der Gewinn null ist.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Betriebsoptimum und Betriebsminimum?
Das Betriebsoptimum ist das Minimum der gesamten Durchschnittskosten: Darunter macht das Unternehmen langfristig Verlust. Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Durchschnittskosten: Darunter lohnt sich nicht einmal die kurzfristige Produktion.
Warum produziert ein Unternehmen auch mit Verlust weiter?
Solange der Preis über den DVK liegt, deckt jede Einheit ihre variablen Kosten und noch einen Teil der Fixkosten. Die Fixkosten fallen ohnehin an, also ist der Verlust mit Produktion kleiner als ohne.