Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable
Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt einer Zufallsvariable, die Varianz misst die Streuung um ihn.
Formeln
- E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ)
- Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(X = xᵢ)
- Verschiebungssatz: Var(X) = E(X²) − E(X)²
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe 1 von 3Erwartungswert
Aufgabe
Die Zufallsvariable X hat diese Verteilung. Berechne Erwartungswert und Varianz.
| x | P(X = x) |
|---|---|
| 0 | 0,40 |
| 2 | 0,10 |
| 3 | 0,20 |
| 4 | 0,30 |
E(X) (auf 2 Nachkommastellen)
Var(X) (auf 2 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Die Zufallsvariable X hat diese Verteilung. Berechne Erwartungswert und Varianz.
Rechenweg
- 1.E(X) = Σ xᵢ · pᵢ = 2 · 0,40 + 3 · 0,10 + 4 · 0,40 + 5 · 0,10 = 3,20
- 2.Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · pᵢ = 1,16
- 3.Alternativ: Var(X) = E(X²) − E(X)² = 11,4000 − 3,2000² = 1,16
Typischer Fehler: E(X²) mit E(X)² verwechseln.
Häufige Fragen
Muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 sein?
Ja, bei einer vollständigen Verteilung immer. Das ist eine gute Kontrolle vor dem Rechnen.