Lineare Regression und Korrelation
Die Regressionsgerade beschreibt den linearen Zusammenhang zweier Merkmale, der Korrelationskoeffizient seine Stärke und Richtung.
Formeln
- b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²
- a = ȳ − b · x̄
- r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²), −1 ≤ r ≤ 1
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Drei Aufgaben zu diesem Thema. Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Aufgabe 1 von 3Regression & Korrelation
Aufgabe
Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Pearson für diese Wertepaare.
| x | y |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 3 | 3 |
| 4 | 0 |
| 5 | 1 |
| 7 | -6 |
r (auf 2 Nachkommastellen)
Komma oder Punkt, Brüche wie 1/6 gehen auch.
Beispiel mit Rechenweg
Für Lernstunden x und Punkte y wurden diese Paare gemessen. Bestimme die Regressionsgerade y = a + b·x.
Rechenweg
- 1.x̄ = 3,40, ȳ = 25,20
- 2.b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² = 75,60 / 17,20 = 4,40
- 3.a = ȳ − b · x̄ = 25,20 − 4,40 · 3,40 = 10,26
Typischer Fehler: Für b durch Σ(yᵢ − ȳ)² statt Σ(xᵢ − x̄)² teilen.
Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Pearson für diese Wertepaare.
Rechenweg
- 1.r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²)
- 2.= 52,80 / √(22,80 · 134,80) = 0,95
- 3.|r| nahe 1 heißt starker linearer Zusammenhang; das Vorzeichen zeigt die Richtung.
Typischer Fehler: Korrelation als Ursache deuten.
Häufige Fragen
Bedeutet eine hohe Korrelation Kausalität?
Nein. Ein Zusammenhang kann auch durch eine dritte Größe oder Zufall entstehen.